We consider a semilinear heat equation with singular initial data in L^p spaces. In R^n, n > 2, there is a polynomial critical growth for the nonlinearity, and there are results of existence, non-existence, uniqueness and non-uniqueness related to this critical growth. In N = 2 critical growth is given by nonlinearities of exponential type. We show that similar phenomena occur for suitable exponential nonlinearities and singular initial data in certain Orlicz spaces.

The Trudinger-Moser inequality is a substitute for the well known Sobolev embedding theorem when the limiting case is considered. We discuss critical and subcritical Moser type inequalities in the whole Euclidean space which involve complete and reduced Sobolev norm. Then we introduce an optimal Lorentz-Zygmund type inequality from which a Moser type inequality can be derived.

In this talk, we will consider the existence of global in time bounds of Sobolev norms for time global solutions to a semilinear parabolic equation involving critical Sobolev exponent. Since the explicit dependence of the local existence time on the initial Sobolev norm is unknown due to the criticality, the above issue is nontrivial. We will show the existence of bounds for any time global solutions by using the profile decomposition method.

Trudinger-Moserの不等式は、Trudinger及びMoserによって示された 臨界Sobolev空間に属する関数の指数型可積分性を保証するSobolevの不等式の 一種である。同不等式は、有界領域のものから全空間上の不等式へと拡張されているが、 スケール不変性をもつ不等式ともたない不等式の二種類が知られている。 本講演では、こららの全空間におけるTrudinger-Moser型不等式に付随する 最大化問題を考察し、スケール不変性の有無と最大化関数の存在、非存在の関係 性について得られた結果を紹介したい。尚、これらの結果は大阪大学の石渡通徳氏、 金沢大学の生駒典久氏との共同研究に基づくものである。

臨界ソボレフ指数より大きい増大度の非線形項を持つ， 半線形楕円型偏微分方程式の球対称解について考察する． 典型例としては，指数関数や，e^{u^p}，e^{e^{...e^u...}}が挙げられる． これらの方程式の解析は，埋め込み定理を基盤とした変分法の枠組みが 破たんするので，他の方法を取らざるを得ない． そこで，球対称の特異解と古典解の交点数を用いて，この方程式の解構造や， 対応する放物型方程式の爆発問題を考察する． 交点数の計算では，藤嶋陽平氏（静岡大学）により導入された 新しいスケール変換が重要な役割を果たすことを見る．

数値解析研究の足取りは日本においてはどのようであったか，欧米での歴史と対比させながら，これを担った研究者の姿に触れ，講演者の経験を交えながら概観し，特徴を見出すよう努める．さらに個別課題に触れながら，今後どう進めるべきかにも言及を試みる．

Insertion of certain inclusions into a uniform field does not perturb the field outside the inclusions. Inclusions with such a property is called neutral inclusions. Study on neutral inclusions goes back to 1960's for the theory of composites. Recently interest on neutral inclusions has been revived in relation to cloaking by the transformation optics which is a recent hot topic in science. I will explain an overdetermined problem for confocal ellipsoids which comes from the study of neutral inclusions, and recent developments on it.

細胞同士、または細胞と細胞外基質が接着する現象は細胞接着と呼ばれる。 また、生体内で各細胞がその機能を発揮するために適切な場所に移動し、 適切な構造を形成する現象は細胞選別と呼ばれている。 これらの現象は、個体発生時の臓器形成や、成体の組織細胞における機能協調、 組織の再構築に関わる非常に重要な現象として、 細胞生物学や発生生物学などの分野において活発に研究がおこなわれている。 その一方で、 数理的観点からの研究は十分になされているとは言い難い。 本講演では細胞接着・細胞選別現象に関する実験結果の紹介、 それらの現象を記述するモデルの導出、 およびその基礎的な解析結果についての報告を行う。 本講演内容は富樫英氏(神戸大学)、 若狭徹氏(九州工業大学)との共同研究に基づくものである。

全空間上の圧縮性Navier-Stokes方程式の時間周期問題について考察する. Ma- Ukai-Yang(2010)によって空間次元が5次元以上の場合に小さな時間周期外力に対する時間周期解の存在とその安定性が知られている. Kagei-T(2013)により, 空間次元3次元以上において, 周期外力がある種の空間対称性を持つ場合に, 小さな外力に対して時間周期解の存在と安定性が得られている. 本講演では, 空間次元3次元以上において周期外力に空間対称性を課さない場合に, 時間周期解の存在と漸近安定性が得られたことを報告する.

３次元以上のユークリッド空間における移流拡散方程式の初期値問題について考察する。 移流拡散方程式はスケール不変性を持ち、その不変 スケールで不変な空間$L^{\frac{n}{2}}$において、 初期値が十分小さい場合、 Corrias-Perthame-Zaagは解が時間大域的に存在することを示した。 一方で、初 期値の質量と比較して、初期値の２次モーメントが十分小さい場合、 Bilerや Corrias-Perthame-Zaagは解が有限時間で爆発することを示した。 本講演では、 初期値に対するモーメントの制約を緩和した場合に得られた解の非有界性と有限時間爆発について報告する。 さらに、爆発解の凝集の様子と凝集点についても得られた結果を紹介する。

半線形熱方程式の可解性について考察する． 初期値が有界の場合には，非線形項の増大度に仮定を置く事なく古典解が存在することが知られ ている． 初期値が非有界の場合には，非線形項が冪乗型の場合にWeisslerによって， スケール不変指数を境とする解の存在・非存在の分類が示された． 本講演では，非線形項の増大度に具体的な仮定を置かず， 一般的な非線形項$f$に対する解の存在・非存在の分類を与える． なお，本講演は静岡大学の藤嶋陽平氏との共同研究に基づく．