In recent years there has been an intensive study of qualitative　properties of solutions of nonlinear elliptic equations. Of particular interest and relevance are solutions with a "concentration behavior". Some interesting examples will be presented and discussed during this lecture.

面積保存型曲率流の自由境界問題を考察する． 具体的には界面の端点の動きが直線に拘束されており， 左右の接触角が一定に固定された自由境界条件を扱う． 講演では進行波解の指数安定性を， 群作用で不変な中心多様体に関する一般論を用いて証明する議論を紹介する． この問題は固体の上に水をこぼして濡らしたときに起きる毛管現象として現れるものである． 左右の接触角にずれを生じさせ，水滴を片方に流していく現象に対応している(十分時間がたったとき)． 本研究は東京工業大学の可香谷隆氏との共同研究に基づく．

空間無限大での非減衰条件をもつ非線型Schr{\"o}dinger方程式は, Bose-Einstein凝縮や超流動などの物理現象を記述するモデル方程式として現れ, Gross-Pitaevskii方程式がその典型例である. 数学的には, 空間無限大での非減衰要素の影響を受け, 通常のべき乗型のNLSと比較して, 解の構成やその挙動を把握することが難しくなる.
本講演では, Gross-Pitaevskii方程式を, 解が非減衰要素へ近づく際の非線型項の減衰オーダーに関して一般化した方程式を考察する. そして, ある程度減衰が速い場合には, 非減衰要素へ散乱する解が存在することを報告する. なお, 本講演は広島大学の眞崎聡氏との共同研究に基づく.

定数係数波動方程式の初期値問題を変数係数に一般化した場合, $L^2$ 適切性やエネルギー保存などの基本的な性質が成り立つことは一般に期待できない. 実際, derivative loss やエネルギーの発散など, 変数係数特有の現象が起こりうることが知られている. 本講演では, このような特異な現象を引き起こす可能性のある係数の性質, および, ある種の非線形波動方程式の大域可解性へ応用について考察する.

本講演では, 周期境界条件下で5次 KdV 方程式の適切性を考える. この方程式は可積分系であり豊富な構造を持つが, 線形部分に比べて非線形項に含まれる微分（微分の損失）が多いことが問題となり, 適切性に関する結果はあまりない. 我々は微分の損失を持つ共鳴部分が方程式の持つ対称性及び保存則を用いた線形部分の修正により相殺されること, 及び非共鳴部分の微分の損失が normal form method により回復することを示し, ある意味最良の結果を得た. なお本講演は名古屋大学の津川光太郎氏との共同研究の内容に基づく.

四階放物型方程式のプロトタイプといえる重調和放物型方程式に対するある障害物問題について考察する。 楕円型または放物型方程式に対する障害物問題は、 二階についてはこれまで数多くの研究結果が得られているが、 高階放物型の場合には最も単純な四階線形の場合に限ってもその発展は十分とは言い難い。 本講演では、発展方程式の近似解法のひとつである minimizing movements を用いた解の構成について得られた結果を紹介する。 なお、本講演は M. Novaga 氏（Pisa 大学）との共同研究に基づくものである。

本講演では、ある半線形楕円型方程式の解の安定性に関する臨界指数の存在について得られた結果を報告する。 ユークリッド空間では、半線形楕円型方程式の代表例の一つである Lane-Emden 方程式に対して、 解の安定性に関する臨界指数である Joseph-Lundgren 指数が存在することがよく知られている。 近年、この結果は重み付き Lane-Emden 方程式、 所謂、Henon 方程式についても拡張された。 一方、双曲空間では Lane-Emden 方程式に対して、 解の安定性に関する臨界指数は存在しないことが 2014年に証明されている。 本講演では、双曲空間においてある Henon 方程式を考え、 その解の安定性に関する臨界指数の存在について論ずる。 また、ordering property といった、安定解の集合がもつ性質についても得られた結果を紹介する。

A phase field approach for structural topology optimization which allows for topology changes and multiple materials is analyzed. First order optimality conditions are rigorously derived and it is shown via formally matched asymptotic expansions that these conditions converge to classical first order conditions obtained in the context of shape calculus. Finally, we present several numerical results for mean compliance problems and a cost involving the least square error to a target displacement. This is joint work with Luise Blank, Harald Garcke and Vanessa Styles.

臨界べき指数 1+2/n を非線形項に持った非線形消散型波動方程式について考え 解の漸近形を高次元 n>3 において調べる。 低次元 n=1,2,3 においてはすでに知られた結果であることに注意しておく。

ユークリッド平面および上半平面における一様磁場に、それぞれの自己同型群の離散部分群の作用で不変な磁場の摂動を考えます。 このときに生起する量子力学的相転移現象について考察したいと思います。 それに関連してランダムな磁場摂動による効果についても言及する予定です。 この結果は峯拓矢氏（京都工芸繊維大学）との共同研究に基づきます。

三次元二層媒質中の波動伝播に対するレゾルベントの空間遠方での漸近挙動について得られた成果を報告する． 全空間の単独媒質中の波動伝播に対する漸近挙動はよく知られており， さらにそれは散乱および逆散乱問題を考察する上でも有用であることも認知されている． しかし，二層媒質中の波動伝播に対しては， 屈折波の存在がもたらす特異性のため，深い結果は得られていないと思われる． なお，本成果は磯崎洋氏(筑波大)と渡邊道之氏(新潟大)との共同研究に基づくものである．

We consider the stochastic Allen-Cahn equation perturbed by smooth additive Gaussian noise in a spatial domain with smooth boundary in dimension d ≦ 3. We study the semidiscretisation in time of the equation by an implicit Euler method. We show that the scheme converges pathwise with a rate of almost 1/2 and that it also converges strongly. We will comment on how the semigroup approach for the determinstic Allen-Cahn equation breaks down and how this may be solved through a variational approach to the problem using a multi-step scheme that may be used to prove strong convergence of order 1/2 also for the implicit Euler method. This multi-step scheme will be introduced and discussed. Finally, some additional problems encountered when approaching the stochastic Cahn-Hilliard equation will be described.

べき乗型非線形項を(典型的な例として)持つ半線形放物型方程式に対し， 適当な除外集合の外で方程式を満足するような解が， 除外集合近くでのどのように振る舞うかについて考える． 特に，除外集合が，各時刻で空間変数について孤立点となる (時空間においては曲線となる)場合を考察し， 以下が得られることを紹介する．
1)解は常に，除外集合上にサポートを持つ外力項が付加される形で， 除外集合を超えて超関数解として延長される．
2)非線形項のべきの指数がある値より小さい場合， ほとんどすべての時刻に対して， 解の空間的特異性はラプラス方程式の基本解と同程度またはそれ以下となる． また，除外集合上に適当に指定された特異性を持つ解が構成可能かどうかについ ても議論する．
本講演は高橋仁氏(東京工業大学)との共同研究に基づく．

Woinowsky-Kriegerによる伸張性のある梁の方程式に, 外部摩擦と構造減衰(Kelvin-Voigt)項を加えたBall(1973)のモデルの初期値問題を考察する. Ballのモデルは非局所型の非線形項をもつ半線形偏微分方程式である. まず, Ono(1999)による修正されたNakaoの補題によって減衰評価を得たのち, 二つの減衰項の両方の長所を生かした線形評価を組み合わせることで, 最適な減衰評価を得る. 次に, 方程式の加速度項の解に及ぼす影響を調べるために, 加速度項の係数をゼロに取った極限方程式の減衰評価を求め, この極限方程式への特異極限の評価について考察する. この極限方程式の減衰評価を求める際には, 上記のNakaoの方法を直接は利用できない. 本講演では, 少しテクニカルな話題ではあるがこの減衰評価をいかにして得るかを中心に説明する. 本研究はKonstanz大のReinhard Racke氏との共同研究である.