消散構造を持つゲージ不変なべき型非線形シュレディンガー方程式を考察する. このような非線形シュレディンガー方程式では解の質量保存則が成立せず, 時間発展により解の質量 (2乗可積分ノルム) が単調減少することが知られている. 特に, 非線形項のべきがBarab-Ozawa指数よりも大きい場合その質量は減衰せず, そうでなければ減衰する. 本講演では, べきがBarab-Ozawa指数以下の場合に, 解の質量減衰オーダーに関してこれまでに得られた結果を報告する. なお本講演は, 熊本大学の北直泰氏, 佐川侑司氏, 佐藤拓也氏との共同研究に基づく.

2乗冪または劣2乗冪の球対称斥力ポテンシャルをもつ半古典的なシュレディンガー作用素に対するレゾナンスの非存在領域について考察する．一般にレゾナンスを調べる際にはダイレーションが用いられるが，今回は散乱粒子の古典軌道を反映させた新たなディストーションを導入する．本講演では，考えている電場に対しヴィリアル型の非捕捉的条件を課すことにより，半古典パラメータが十分小さければ実軸近傍にレゾナンスが存在しないことを見る．

コーシー・シュワルツの不等式やポワンカレの不等式をはじめとする基礎的不等式を等式の枠組で論じ、その証明・最良定数・非自明最適化函数の存在と特徴付け について、簡単で直接的な道筋を紹介する。
[1] T. Ozawa, D. Suragan, Sharp remainder of the Poincaré inequality, Proc. Amer. Math. Soc., 148 (2020), no. 10, 4235-4239.
[2] T. Ozawa, D. Suragan, Poincaré inequalities with exact missing terms on homogeneous groups, J. Math. Soc. Japan, 73 (2021), no. 2, 497-503.
[3] T. Ozawa, K. Yuasa, Uncertainty relations in the framework of equalities, J. Math. Anal. Appl., 445 (2017), no. 1, 998-1012.

本発表では, 半平面上で冪乗型非線形Neumann境界条件を課したSchrödinger方程式の初期値境界値問題を考察する. 半直線においては, Batal-Özsarı, Hayashi-Ogawa-Satoらが, 同様の問題の適切性を論じている. ここでは, 非斉次境界条件下のSchrödinger方程式に対して, 半平面上異方的なLebesgue空間を用いた境界Strichartz評価を新たに示す. さらに, 非線形問題に境界Strichartz評価を適用し, $L^2$劣臨界または臨界問題の適切性を示す. 本発表は, 小川卓克氏(東北大学), 佐藤拓也氏(熊本大学)との共同研究に基づく.

本発表では、競争系のLotka-Volterraモデルを考える。 ここでは特に、競争関係にある複数の個体群が混在する状況を考え、生息域の外にトラップを仕掛けた場合、これらの種がどのような条件下で伝播または絶滅するのかを考察する。本研究は、出原浩史(宮崎大学)とChang-Hong Wu氏(NCTS)の共同研究に基づく。

波動方程式の逆ソース（源泉）問題は騒音源推定や地震の震源推定など、さまざまな応用を持つ問題である。 この問題においては従来、波動場について源泉項の存在範囲を含むような領域の境界全体（もしくはその一部）における観測情報を与え、これを基に源泉項を再構成するという問題設定で研究が主に行われてきた。 それに対し、近年、問題設定として少数の点における波動場の観測情報に基づいて源泉項を再構成する、もしくはそのの可能性に関する研究が増えている。 本講演ではこれらの研究について、問題設定や提案されている推定手法等について紹介する。 また、源泉項が双極子によりモデル化される場合に対し、この再構成を4点における波動場の観測に基づいて行う手法に関する我々の研究結果を示す。本講演の内容は、横山美沙氏（岡山理科大学大学院）との共同研究に基づくものである。

一般の非線形項をもつ半線形楕円型方程式に対する分岐問題を考える．非線形項が冪関数あるいは指数関数の場合は， Joseph-Lundgren 指数あるいは空間次元 N = 10 を臨界として分岐構造が大きく変化することが知られている．本講演では， 藤嶋-猪奥による一般化スケール則に基づく条件を導入することにより，非線形項の具体形を仮定しない広範な問題に対して 特異極解（Singular extremal solution）が存在するための条件，すなわち分岐曲線が単調となるための条件について考察を行う． さらに，応用として Trudinger-Moser 型などの優指数増大度の非線形項を持つ問題への適用を考える．本講演の内容は，宮本安人氏（東京大学）との共同研究に基づく．

本講演では、Dirichlet 境界条件下でのp-Laplacian ($1< p< \infty$)の球対称な固有値の挙動（as $p\to 1+0$, $p\to \infty$）と単調性(w.r.t. $p$) について紹介する予定である。一般の $p$-Laplacian ($p\not=2$) の非線形固有値については未解決な問題が多く, 第一と第二以外の高い次数の固有値についての定義や解析は難しい。その為, $p$ が $1$ や $\infty$ に近づいたときの固有値の挙動についての結果は第一固有値に関するものばかりとなっている。本講演では、球や円環領域の場合に球対称な固有値に限れば高い次数の固有値に関しても、その挙動と単調性について結果が得られたことを紹介する。 本講演は、梶木屋龍治氏（大阪電気通信大学）と田中敏氏（東北大学）との共同研究に基づくものである。

本講演では領域のスケールに関するパラメータを含むTrudinger-Moser不等式を扱う。B. Ruf ('05)、Y. Yang ('12)により 得られた不等式を達成する最大化関数に関して、スケールパラメータを無限大にしたときの挙動に関する結果を紹介する。 最大化関数はある非局所楕円型方程式の解となっており、Lin-Ni-Takagi ('88)、Ni-Takagi ('91)、del Pino-Felmer ('99)などの手法を応用してこの方程式を解析する。 Trudinger-Moser不等式内にある指数に依存して最大化関数の挙動は凝集現象と消失現象の2つに分かれ、さらに最大化関数の最大点の位置が領域の幾何学的性質に依存することを紹介する。 関連して、全空間Trudinger-Moser不等式を達成する最大化関数の性質についても紹介する。

モジュレーション空間は1983年にFeichtingerにより導入された空間であり, 二乗可積分空間と似通った性質を持ちつつ, 関数の大域的性質と局所的性質を同時にみる空間である. 本研究では, 磁場中のシュレーディンガー方程式の解に対する, モジュレーション空間における初期値による評価を考察する. 自由及びスカラーポテンシャル付きのシュレーディンガー方程式に対しては, 解のモジュレーション空間における評価が得られている (Bényi-Gröchenig-Okoudjou-Rogers(2007), Cordero-Gröchenig-Nicola-Rodino(2013), Kato-Kobayashi-Ito(2014)など). 磁場中のシュレーディンガー方程式に対しては, 磁場特有の一階微分項からくる周波数成分の増大のために従来の方法では解を評価することができなかった. 本講演では, 空間減衰磁場の場合に, 解のモジュレーションノルムを初期値のモジュレーションノルムで評価する評価式とその証明法について述べる. また, 磁場がある意味で短距離型の場合の結果についても紹介する. なお本講演は, 加藤 圭一 教授(東京理科大学)との共同研究に基づく.

Magic angles are a hot topic in condensed matter physics: when two sheets of graphene are twisted by those angles the resulting material is superconducting. I will present a very simple operator whose spectral properties are thought to determine which angles are magical. It comes from a recent Physical Review Letter by Tarnopolsky-Kruchkov-Vishwanath. The mathematics behind this is a blend of representation theory (of the Heisenberg group in characteristic three), Jacobi theta functions and spectral instability of non-self-adjoint operators (involving Hormander’s bracket condition in a simple setting). The results will be illustrated by colourful numerics which suggest some open problems. This is joint work with S. Becker, M. Embree, and M. Zworski.