実軸上の実数値連続関数 f のグラフが定める領域への上半平面からの等角写像 G について，関数 f の性質と G の境界での漸近挙動について比較する．関数 f として考える族は，(little) Zygmund 連続性をもつもの，微分 f' が BMO (VMO)や分数次ソボレフ空間に属するものなどである．グラフ曲線の幾何学的な特徴付けを仲介として，対応する正則関数 log G' の各種ノルムの境界での減衰および G の境界拡張が定める実軸の擬対称写像の性質について議論する．とくに f が little Zygmund 条件をみたす Weierstrass 型関数の場合に，その実解析的な性質とグラフの形状について述べる．この内容は Fei Tao (北京大学）との共同研究の結果である．