藤田博司

愛媛大学大学院理工学研究科数理物質科学専攻特任講師

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非公式なプレプリント

研究報告のプレプリントやカンファレンスの予稿などです。とくに断りのないものは英語で書いてあります。
日本語で書いた自分用研究ノートは別ページにあります。

[1] A measure theoretic basis theorem for \(\Pi^1_2\) [pdf]: \(0^\sharp\) が存在するとき, 正のルベーグ測度を有する \(\Pi^1_2\) 集合は, \(0^\sharp\) に相対的に算術的定義可能な要素をもつ. このことを, Covering Gameの手法をもちいて証明したもの. Journal of the Mathematical Society of Japan に掲載された.
[2] A weak basis theorem for \(\Pi^1_2\) [pdf]: \(a\) が自然数の集合で, 構成可能的集合の宇宙 \(L\) にとっての最小の不可算順序数 \(\aleph_1^L\) が \(a\) に相対的に再帰的であるとすると, 正のルベーグ測度を有する \(\Pi^1_2\) 集合は, \(a\) に相対的に超算術的定義可能な要素をもつ. この結果は[1]の結果の別証明を与えるだけでなく、\(0^\sharp\) よりも“小さい”(\(L\) に近い) 範囲で同様の結果が成り立つ可能性を示唆している。
[3] Lebesgue's basis theorem [pdf]: 正のルベーグ測度を有する \(\Pi^0_1\) 集合は, 算術的要素をもつが、必ずしも再帰的要素をもつとは限らないことが, 田中尚夫の研究によって知られている. ここでは, 正規数の存在をめぐるルベーグの議論に基づき, 次の結果を証明する. 実数の集合 \(A\) は \(\Pi^0_1\) 集合で, そのルベーグ測度(値)が正の再帰的実数であるようなものとする. このとき, \(A\) は再帰的な要素をもつ.
[4] Determinacy of covering games is equivalent to Lebesgue measurability [pdf]: 決定性公理からルベーグ可測性が導かれるというMycielskiとSwierczkovskiの結果の簡単な別証明をあたえるHarringtonのcovering gameについて考え, 実数の任意の集合がルベーグ可測であるという主張とすべてのcovering gameに必勝法があるという主張が (ZF+DCのもとで) 同値であることを証明する.
[5] Remarks on two problems of Laczkovich on functions with Borel measurable differences [pdf]: ボレル可測関数の階差の性質に関連して提出されたLaczkovichの問題2と3について, 部分的解答を与えるもの. 関数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) がボレル可測で, すべての階差 \(\triangle_hf(x)\) がベールの \(\alpha\)階級に属するなら, \(f(x)\) はベールの \(1+\alpha\)階級に属する. したがって, Laczkovichの問題3は \(\alpha\) が無限順序数のときには肯定的に解かれる. また, Laczkovichの問題2についても肯定的な部分解を与えている. Acta Mathematica Hungaricaに掲載された.
[6] On almost translation invariant sets of reals [pdf]: 可算集合全体のなすイデアルを法として平行移動に関して不変であるような, 不可算かつ補不可算な集合の存在をめぐって, 記述集合論的に考察する. ボレル集合はこのような集合になり得ない. \(\Delta^1_2\) 集合にそのようなものがあるかどうかは, ZFC+CHと独立である.
[7] A consistency result about functions with Borel measurable differences: 可測基数の存在がZFC集合論と両立するなら, 次の命題もZFC集合論と両立する: 関数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) が有界で, すべての階差 \(\triangle_hf(x)\) がボレル可測であるなら, \(f\) 自身がボレル可測関数である. この結果によって, 連続体仮説CHをもちいてLaczkovichの問題2への反例を構成したR.FilipówとI.Recławの結果においてCHの仮定が本当に必要であることがわかる. (2008年8月22日追記) 本稿の内容は次のエントリ[8]によってカバーされているため, 公開を停止します.
[8] On the difference property of Borel measurable functions [pdf]: Tamás Mátraiとの共著論文. 実数値可測基数の存在から, 次の結果を導く: 関数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) のすべての階差 \(\triangle_hf(x)\) がボレル可測であるなら, \(f\) はボレル可測関数と加法的関数 (すなわち \(\mathbb{R}\) の加法自己準同型写像) との和である. この結果によって, [5]で扱ったLaczkovichの問題2の肯定解が可測基数の存在に相対的に無矛盾であることがわかる. また, これとは別に, Laczkovichの問題3への完全な解答が与えられる. Fundamenta Mathematicaeに掲載された.
[9] Coanalytic sets with Borel sections [pdf]: 神戸大学工学部新井プロジェクトで開かれた第８回関西集合論セミナーで2009年3月6日に講演したさい配布したレジュメ. \(A\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) が \(\mathbf\Pi^1_1\) 集合で, 各 \(y\) 切片での切り口 \(A^y\) がボレル集合である場合に, 稠密 \(G_\delta\) 集合 \(D\) を与えて \(A\cap(\mathbb{R}\times D)\) をボレル集合にできるか, という問題を考えています. (公開日: 2009年3月9日月曜日)
[10] On effectivization of Freiling's Axioms of Symmetry [pdf]: Freiling の対称性公理のエフェクティブ版としてWeitkampが提出した定式化の問題点を指摘し別の定式化を試みます. (公開日: 2009年9月29日火曜日)
[11] On points of differentiability of discontinuous functions [pdf]: 神戸大学で2010年11月18日に神戸大学で講演した内容. 「不連続関数の微分可能点について」を, 同年10月開催のRIMS研究集会の講究録に掲載するためにあらためて書きおろしたもの. (公開日: 2011年1月21日金曜日)
[12] Notes on an old theorem of Erdös concerning CH [pdf]: 神戸大学で2012年2月22日に神戸大学で講演した内容. 複素平面上の整函数の族をめぐる連続体仮説と同値な命題をのべるエルデシュの定理について記述集合論の立場から考えます. 2011年10月開催のRIMS研究集会の講究録に掲載. (公開日: 2012年8月29日水曜日)

Hiroshi Fujita

Department of Mathematics, Faculty of Science,
Ehime University.
Matsuyama 790-0012
Japan