日時： 10 月 15 日（金） 15:00 〜
場所： 愛媛大学理学部数理科学棟２階 大演習室
講師： 宇田川誠一 氏（日本大学・医学部）
題目： Tzitzeica 方程式と曲面の微分幾何
要旨： Tzitzeica 方程式とは，周期的戸田方程式の特別な場合で，単一の方程式 (*) $\partial\overline{\partial}\omega=e^{-2\omega}-e^{\omega}$ になるものをいう．ここで，$\omega$ は 2 変数 $x, y$ の $c^{\infty}$-関数であり，複素パラメータ $z=x+\sqrt{-1} y$ を導入して，$\partial = \dfrac{\partial}{\partial z}, \overline{\partial}=\dfrac{\partial}{\partial\overline{z}}$ である．実際には，(*) の右辺の符号を変えたものもあり，(*) は楕円型 Tzitzeica 方程式，右辺の符号を変えたものを双曲型 Tzitzeica 方程式と呼んでいる．楕円型 Tzitzeica 方程式が現れる曲面論の例としては，6 次元単位球面内 $S^6$ の概複素曲線で，$S^6$ には full ではなく 5 次元単位球面 $S^5$ に full に入っているもの $f : M \longrightarrow S^5 \subset S^6$ とか，Hopf fibration により，Lagrangian 極小曲面 $\varphi : M \longrightarrow {\bf C}P^2$ などがある．実際，誘導計量を $ds^2=2 e^{\omega}dz d\overline{z}$ と表すとき，$\omega$ の満たすべき（曲面の）可積分条件が楕円型 Tzitzeica 方程式で与えられる．これらは，特殊解は Jacobi の楕円関数で与えられ，一般的な場合は，Riemann の $\theta$-関数(Prym $\theta$-関数)を用いて記述される．講演では，これらの説明と $S^6$ に full に入っている場合の問題に触れ，さらに，双曲型へのアナロジーが存在するかについてお話させていただく予定である．